Раздел: Математические.
Категория: Численные методы

Численные методы алгебры

• Методы решения алгебраических уравнений: дихотомии, хорд, касательных.
• Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
• Итерационные методы (каноническая форма, теорема сходимости).
• Метод простых итераций, метод Зейделя, метод релаксации
• Теорема сходимости одношаговых стационарных методов. Оценка скорости сходимости.
• Решение систем с трехдиагональной матрицей методом прогонки.
• Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Метод Крылова.
• Вариационно-итерационные методы. Теорема о минимуме функции.
• Метод минимальных невязок
• Метод градиентного спуска.
• Оценка погрешности и мера обусловленности.
• Решение нелинейных уравнений. Решение систем нелинейных уравнений.
• Метод дихотомии. Метод простых итераций. Метод Ньютона. Метод секущих.
• Оценка сходимости методов простой итерации и Ньютона.
• Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений.
• Алгебраическая проблема собственных значений (Степенной метод, метод вращений).

Численные методы анализа.

• Задача интерполяции. Многочлен Лагранжа. Остаточный член.
• Минимизация остаточного члена.
• Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями.
• Сходимость интерполяционных многочленов.
• Численное дифференцирование.
• Сплайн-интерполяция.
• Линейный интерполяционный сплайн.
• Кубический интерполяционный сплайн.
• Метод наименьших квадратов.
• Среднеквадратичные приближения.
• Наилучшие приближения в нормированный пространствах.
• Простейшие квадратурные формулы. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.
• Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
• Квадратурные формулы Гаусса.

Численные методы решения дифференциальных уравнений.

• Метод Эйлера. Аппроксимация и сходимость.
• Методы Рунге-Кутты второго порядка.
• Устойчивость задачи и разностной схемы.
• Явные схемы Адамса. Построение, погрешность аппроксимации, устойчивость.
• Неявные схемы Адамса.
• Метод стрельбы для краевой задачи с однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
• Разностные схемы для краевой задачи с однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
• Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем.
• Разностные схемы для уравнения теплопроводности.
• Устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности по начальным условиям, по правой части и по граничным условиям.
• Разностные схемы для уравнения Пуассона.
• Теоремы сравнения. Сходимость разностной схемы для уравнения Пуассона
• Разностные схемы для волнового уравнения. Погрешность аппроксимации, устойчивость по начальным данным.
• Методы регуляризации некорректных задач

Численное интегрирование

• Квадратурные формулы интерполяционного типа. Формулы Ньютона-Кэтеса.
• Формула трапеций.
• Формула Симпсона.
• Формула средних.
• Формула Ньютона.
• Автоматический выбор шага интегрирования. Повышение точности квадратурных формул.
• Квадратурная формула Гаусса.
• Вычисление кратных интегралов. Метод ячеек. Метод последовательного интегрирования.

Численные методы решения задач математической физики.

• Разностные методы решения задач математической физики.
• Построение сеточной области. Аппроксимация дифференциальных уравнений и краевых условий. Погрешность аппроксимации.
• Методы построения разностных схем: метод разностной аппроксимации; интегро-интерполяционный метод; метод неопределенных коэффициентов.
• Исследование аппроксимации и сходимости. Устойчивость разностных схем.
• Принцип замороженных коэффициентов
• Решение уравнения переноса
• Решение параболических уравнений. Явные и неявные схемы
• Решение уравнений эллиптического типа.
• Решение уравнений гиперболического типа.
• Трехслойные разностные схемы.
• Метод разделения переменных для разностных схем
• Методы решения сеточных уравнений. Итерационные методы. Метод прогонки. Метод редукции.
• Решение нелинейных задач с разрывными решениями

Численные методы решения интегральных уравнений.

• Задачи для интегральных уравнений. Решение интегральных уравнений с помощью квадратурных формул.
• Метод замены ядра на вырожденное.
• Метод последовательных приближений.
• Метод коллокаций.
• Метод наименьших квадратов.
• Метод моментов

Численные методы решения некорректных задач.

• Некорректно поставленные задачи и методы их решения
• Метод регуляризации. Стабилизирующие и сглаживающие функционалы.
• Решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.
• Решение интегральных уравнений первого рода