Вычислительная математика - Книги - Библиотека

ПОГРЕШНОСТИ
Погрешность результата численного решения задачи. Основные источники и классификация погрешности. Определение количества верных значащих цифр результата вычислений. Запись чисел в ЭВМ. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. Правила вычисления погрешности суммы, разности, произведения, частного, степени и корня. Общая формула для вычисления погрешности функции. О вычислительной погрешности. Понятие вычислительного алгоритма. Требования к вычислительному алгоритму. Прямая задача теории погрешностей. Обратная задача теории погрешности. Требования к вычислительному алгоритму. Устойчивость и сложность алгоритма.

АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ

Понятие о функции. Области определения функций. Компактный носитель функции. Пространства функции. Периодичность функции. Постановка задачи аппроксимации функции. Интерполяция многочленами. Теорема существования и единственности обобщенного интерполяционного многочлена.
Приближение функций. Приближение функций рядом Тейлора. Интерполяция и экстраполяция функций по Лагранжу. Интерполяционная формула Ньютона. Погрешность многочленной аппроксимации. Трудности приближения многочленом. Многочлены Чебышева. Интерполяция сплайнами. Интерполяционные и экстраполяционные формулы при равноотстоящих значениях аргумента.
Среднеквадратичное приближение (метод наименьших квадратов). Среднеквадратическое приближение функций при помощи тригонометрических многочленов. Равномерное и равномерное наилучшее приближение функций. Дискретное задание функции, многочленная аппроксимация. Непрерывное задание функции, линейная аппроксимация. Ортогональные функции. Ортогональные многочлены.

Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Линейные рекуррентные уравнения. Понятие однородного и неоднородного уравнения. Однородное нестационарное линейное рекуррентное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородное линейное рекуррентное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородное стационарное линейное рекуррентное уравнение первого порядка. Однородные линейные рекуррентные уравнения высших порядков. Системы рекуррентных уравнений.
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений с одним неизвестным. Отделение корней. Метод дихотомии (половинного деления). Методы хорд, касательных и комбинированный метод хорд и касательных. Метод Ньютона. Метод простой итерации. Условия сходимости методов и оценка погрешностей. Вычисление корней многочленов.
Системы линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса. Метод отражений. Матрицы специального вида. Треугольные матрицы. Унитарные матрицы. Нормы векторов и матриц. Обусловленность линейной системы. Вычисление определителей и обращение матрицы методом Гаусса. Метод простой итерации, условия сходимости и оценка погрешности. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация. Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному для итераций. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ. Процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов.
Метод Зейделя. Метод наискорейшего градиентного спуска. Метод сопряженных градиентов.
Системы нелинейных уравнений. Методы Ньютона, итераций и градиента для системы нелинейных уравнений. Условия сходимости методов и оценка погрешностей.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Основные определения. Проблема собственных значений. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QR-алгоритма Прямые методы решения проблемы собственных значений. Метод интерполяции (метод неопределенных коэффициентов). Метод А.Н. Крылова. О вычислении характеристического многочлена для трехдиагональных матриц.
Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Обратные итерации для вычисления собственных векторов. Итерационный метод вращений для эрмитовых матриц. Частичная проблема собственных значений. Метод линеаризации. Степенной метод (счет на установление). Обратные итерации со сдвигом. Итерационные методы с использованием спектрально-эквивалентных операторов.

РАЗДЕЛ 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Конечные разности различных порядков. Основные свойства конечных разностей.
Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений. Разностные уравнения первого порядка. Однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Неоднородные разностные уравнения второго порядка. Методы получения, исследования на сходимость и устойчивость разностных схем. О выборе норм. Исследование устойчивости разностных схем. Приемы исследования устойчивости нелинейных задач.

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И НТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Численное дифференцирование. Регуляризация дифференцирования. Формулы дифференцирования на основе многочлена Ньютона. Метод Рунге-Ромберга повышения точности. Фиксированные узлы. Свободные узлы (квадратуры Гаусса). Оценка остаточного члена. Повышение точности квадратурных формул.
Вычисление определенных интегралов с помощью формул прямоугольников, трапеций и Симпсона. Погрешности численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса, Гаусса. Метод Монте-Карло.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения. Метод последовательных приближений (метод Пикара). Метод малого параметра (метод Пуанкаре).
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Элементарные примеры разностных схем. Понятие о порядке точности и об аппроксимации.
Понятие о жестких системах ОДУ. Методы дифференцирования назад. Реализация неявных методов.

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определение корректной постановки краевой задачи. Начальные и краевые условия. Классификация приближенных методов. Методы сведения краевых задач к задачам Коши.
Метод конечных разностей для решения краевых задач. Особенности применения метода конечных разностей к граничным условиям. Метод колоокаций. Метод конечных элементов. Построение численных методов с помощью вариационных принципов.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Случайные числа. Метод Монте-Карло. Моделирование нормальной случайной величины. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло. Сравнение величин. Нахождение стохастической зависимости. Подбор эмпирических формул.

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАННЫХ ПАКЕТОВ В ЗАДАЧАХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Математическое обеспечение ПЭВМ, типы пакетов прикладных программ, структура пакетов. Программирование на ПЭВМ. Структура и функциональные возможности интегрированных пакетов SciLab, MathCad, Мар1е и Маt1аb.

НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Приближение функций и сигналов. Онлайновая интерполяция. Двумерная линейная и сплайн-интерполяция.
Регрессия и сглаживание данных. Постановка задачи регрессии. Выполнение линейной регрессии. Реализация линейной регрессии общего вида. Реализация одномерной и многомерной полиномиальной регрессии общего вида. Функции для проведения регрессии в МаthCad. Функции сглаживания данных. Предсказание зависимостей.
Ряды Фурье и гармонический синтез. Синусоидальная функция. Модуляция синусоидальных колебаний. Фурье-анализ и синтез периодических функций. Прямой Фурье-анализ и синтез периодических сигналов. Специальные типы преобразований Фурье. Дискретный Фурье-анализ и спектр периодических функций. Гармонический синтез дискретно заданного сигнала. Непрерывное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье (БПФ). Примеры выполнения БПФ. Альтернативные преобразования Фурье. Эффект Гиббса и борьба с ним.
Улучшенное моделирование сигналов на основе спектрального подхода. Оконное преобразование Фурье. Ограничения и недостатки преобразования Фурье. Кратковременное (оконное) преобразование Фурье.

Вид литературы:  Книги