• Случайное событие.
• События детерминированные, неопределенные, случайные.
• Понятие вероятности события.
• Простейшие представления Бернулли, Лапласа, Бюффона.
• Физическая трактовка вероятности по Бернулли.
• Современное представление о вероятности по Колмогорову.
• Правила исчисления вероятностей. Формулы сложения.
• Понятие зависимости событий и формулы умножения.
• Схема гипотез и полная вероятность события. Формула Байеса.
• Биномиальная схема и формула Бернулли.
• Полиноминальное обобщение схемы Бернулли.

Случайные величины и их распределения вероятностей.

• Понятие случайной величины.
• Формальная трактовка по Колмогорову.
• Функция распределения случайной величины и ее свойства.
• Типы случайных величин.
• События со случайной величиной и интеграл Стилтьеса.
• Понятие спектра значений случайной величины, типы.
• Дискретная случайная величина и ее ряд распределения.
• Непрерывная случайная величина и ее плотность распределения.
• Понятия условной и безусловной случайной величины.
• Трансформация функции распределения при преобразовании.
• Преобразование Мизеса.
• Трансформация ряда и плотности распределения.

Числовые характеристики случайных величин

• Математическое ожидание.
• Представления Гюйгенса и Н.Бернулли о математическом ожидании.
• Современное понятие математического ожидания по Колмогорову.
• Свойства функционала математического ожидания, неравенство Маркова.
• Математическое ожидание, медиана и мода.
• Дисперсия, среднеквадратическое отклонение и другие характеристики рассеяния.
• Формальное понятие дисперсии и ее физическая трактовка по Н.Бернулли.
• Свойства функционала дисперсии, неравенство Чебышева.
• Среднеквадратическое отклонение, полуширота и межквартильный размах.
• Моменты случайной величины.
• Понятия начальных и центральных моментов.
• Моменты и характеристики скошенности и островершинности.
• Понятия вектора средних и ковариационной матрицы.
• Свойства ковариационной матрицы.
• Эллипсоид рассеяния.
• Коэффициент корреляции.
• Функция среднеквадратической регрессии.

Стохастические последовательности

• Стохастическая сходимость, виды.
• Сходимость по вероятности и по распределению.
• Понятия закона больших чисел и центральной предельной проблемы.
• Теорема Маркова, теорема Чебышева, теорема Хинчина.
• Варианты центральной предельной теоремы.
• Теорема Линдеберга - Леви.

Оценивание параметров в математической статистике

.
• Задача оценивания параметров.
• Понятия статистического параметра.
• Принципы точечного оценивания.
• Метод максимального правдоподобия для точечного оценивания.
• Свойства регулярных оценок максимального правдоподобия.
• Оценивание вероятности успеха в схеме Бернулли.
• Способы интервального оценивания.
• Доверительное утверждение и его построение по Нейману.
• Распределение К.Пирсона и распределение Стьюдента.

Проверка параметрических гипотез

• Задача проверки параметрических гипотез.
• Понятие параметрической статистической гипотезы.
• Ошибки первого и второго рода и выбор проверяемой гипотезы.
• Критерий значимости для гипотезы.
• Тест для вероятности успеха в схеме Бернулли.
• Тройной тест дегустатора в экспериментальной психологии.
• Формальные соотношения для теста. Бета распределение.
• Способы конструирования субоптимальных тестов.
• Фундаментальная лемма Неймана-Пирсона.
• Тесты при монотонном отношении правдоподобия.
• Критерий обобщенного отношения правдоподобия Вальда - Уилкса.
• Примеры со средним и дисперсией нормальной генеральной совокупности.
• Тест Пирсона для полиномиальной схемы Бернулли.
• Обобщение Фишера.

Процедуры прикладной статистики

• Задача проверки согласия.
• Разведочный анализ для выдвижения гипотезы согласия. Общая конструкция теста согласия.
• Практические тесты согласия.
• Тесты Колмогорова, Крамера - Мизеса и Пирсона для простой гипотезы.
• Модифицированные тесты для сложной гипотезы, тест Колмогорова - Лиллифорса.
• Задача проверки однородности.
• Разведочный анализ для выдвижения гипотезы однородности. Общая конструкция теста однородности.
• Практические тесты однородности.
• Универсальные тесты Крамера - Пирсона и Колмогорова - Смирнова.
• Ранговые сдвига-масштабные тесты Фишера, Манна - Уитни, Вилкоксона и Ансари - Брэдли.
• Тесты на нормальных данных Стьюдента и Фишера. Распределение Фишера - Снедекора.
• Проверка независимости. Общая конструкция теста независимости.
• Тесты некоррелированности Фишера, Спирмена и Кендалла.
• Регрессионный анализ.
• Проблема выявления регрессионной зависимости в статистике и метод наименьших квадратов.
• Простая линейная регрессия; теорема Гаусса - Маркова о свойствах оценок наименьших квадратов.
• Доверительные границы для линии регрессии.

Теория вероятностей и математическая статистика для экономических и других специальностей.

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события

• Элементарные события.
• Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятностей.
• Элементы комбинаторики: размещения с повторением и без повторений, перестановки с повторением и без повторений, сочетания с повторением и без повторений.
• Вероятностное пространство.
• Свойства вероятностей. Теорема сложения вероятностей
• Теорема умножения вероятностей.
• Понятие зависимости и независимости событий.
• Условная вероятность и ее свойства.
• Формулы полной вероятности и формула Байеса.

Схема Бернулли.

• Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли.
• Наивероятнейшее число.
• Предельные теоремы в схеме Бернулли: локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, теорема Пуассона.

Случайные величины и их характеристики.

• Понятие случайной величины.
• Дискретные и непрерывные случайные величины.
• Функция распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей.
• Математическое ожидание и дисперсия. Мода и Медиана.
• Начальные и центральные моменты случайной величины, асимметрия и эксцесс.

Основные законы распределения случайных величин

• Биномиальный закон распределения вероятностей. .
• Нормальное распределение.
• Равномерное распределение.
• Показательное распределение. Распределения Стьюдента, Пирсона, Фишера, Вейбула.

Законы больших чисел.

• Задача оценки вероятностей заданных уклонений случайной величины от своих средних значений.
• Неравенство Чебышева.
• Теорема Чебышева, теорема Маркова.
• Устойчивость относительных частот - теорема Бернулли.
• Центральная предельная теорема - теорема Ляпунова
• Теорема Муавра-Лапласса об асимптотической нормальности биномиальной случайной величины.

Элементы теории случайных процессов.

• Определение сл. процесса и их классификация.
• Определение Марковского случайного процесса.
• Цепи Маркова.
• Матрица вероятностей перехода, стохастическая матрица.
• Применение цепей Маркова для оценки эффективности функционирования систем.
• Элементы теории массового обслуживания. Простейшая математическая модель СМО (системы массового обслуживания).

Основные понятия математической статистики.

• Понятие выборки. Распределение частот.
• Генеральная и выборочная совокупности.
• Эмпирическая функция распределения.
• Полигон и гистограмма.
• Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.
• Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке.
• Доверительный интервал.
• Метод моментов.
• Метод наибольшего правдоподобия.
• Интервальные оценки.

Проверка статистических гипотез.

• Статистическая гипотеза.
• Виды статистических критериев.
• Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием.
• Сравнение двух дисперсий.
• Сравнение двух математических ожиданий.
• Проверка гипотез о распределении. Критерий Пирсона. Критерий Смирнова.

Основы регрессионного и корреляционного анализа.

• Функциональные, стохастические, статистические и корреляционные связи.
• Парная регрессия и множественная корреляция.
• Коэффициент корреляции, детерминации.
• Линейная регрессия с несгруппированными данными.
• Линейная регрессия со сгруппированными данными.
• Нелинейная регрессия.

Дисперсионный анализ

• Случайная, детерминированая, смешанная модели.
• Формула разложения дисперсий.
• Общий метод проверки влияния фактора на признак способом сравнения дисперсий.
• Однофакторный, двухфакторный дисперсионный анализ.